Nico Agung Nugraha: Integral Trigonometri

Integral Trigonometri merupakan hasil kebalikan dari turunan trigonometri. Sebelum kita mencoba mengingat rumus-rumus integral triogonometri maka sebaiknya kita ingat dulu turunan trigonometri. Turunan trigonometri bisa kita tuliskan sebagai berikut :

y = sin x maka y’ = cos x
y = cos x maka y’ = – sin x
y = tan x maka y’ = sec² x
y = cot x maka y’ = -csc² x
y = sec x maka y’ = sec x tan x
y = csc x maka y’ = -csc x cot xDengan demikian jika rumus-rumus ini kita balik akan menjadi
$\int cos x dx = sin x + c$
$\int sin x dx = -cos x + c$
$\int sec^{2} x dx = tan x + c$
$\int csc^{2} x dx = -cot x + c$
$\int sec x tan x dx = sec x + c$
$\int csc x cot x dx = -csc x + c$

Rumus-rumus tersebut bisa dibuat lebih umum sebagai berikut : $\int cos (ax+b) dx = \frac{1}{a}sin(ax+b) + c$
$\int sin (ax+b) dx = -\frac{1}{a}cos(ax+b) + c$
$\int sec^{2} (ax+b) dx = \frac{1}{a}tan(ax+b) + c$
$\int csc^{2} (ax+b) dx = -\frac{1}{a}cot(ax+b) + c$
$\int sec (ax+b)tan (ax+b) dx = \frac{1}{a}sec(ax+b) + c$
$\int csc (ax+b)cot (ax+b) dx = -\frac{1}{a}csc(ax+b) + c$

Untuk lebih jelasnya kita bisa membuktikan sebagai berikut
misalkan : y = ax + b
maka

$\frac{dy}{dx}=a\rightarrow dx=\frac{dy}{a}$

Jadi :

$\int cos (ax+b)dx = \int cos y \frac{dy}{a}=\frac{1}{a}\int cosy dy = \frac{1}{a}siny+c$
$=\frac{1}{a}sin(ax+b) + c$

$\int sin (ax+b)dx = \int sin y \frac{dy}{a}=\frac{1}{a}\int sin y dy = -\frac{1}{a}cosy+c$
$= -\frac{1}{a}cos(ax+b)+c$

$\int sec^{2} (ax+b)dx = \int sec^{2} y \frac{dy}{a}=\frac{1}{a}\int sec^{2} y dy = \frac{1}{a}tany+c$
$= \frac{1}{a}tan(ax+b)+c$

$\int csc^{2} (ax+b)dx = \int csc^{2} y \frac{dy}{a}=\frac{1}{a}\int csc^{2} y dy = -\frac{1}{a}coty+c$
$= -\frac{1}{a}cot(ax+b)+c$

$\int sec (ax+b)tan (ax+b)dx = \int sec y tan y \frac{dy}{a}=\frac{1}{a}\int sec y tan y dy$
$= \frac{1}{a}sec y+c = \frac{1}{a}sec(ax+b)+c$

$\int csc (ax+b)cot (ax+b)dx = \int csc y cot y \frac{dy}{a}=\frac{1}{a}\int csc y cot y dy$

$= -\frac{1}{a}csc y+c = -\frac{1}{a}csc(ax+b)+c$

Integral Trigonometri

$\int cos(ax+b)\;dx=\frac 1a\;sin(ax+b)+C$

$\int sin(ax+b)\;dx=-\frac 1a\;cos(ax+b)+C$

$\int sec^2(ax+b)\;dx=\frac 1a\;tan(ax+b)+C$

$\int cosec^2(ax+b)\;dx=-\frac 1a\;cot(ax+b)+C$

Ingat kembali sifat-sifat integral di materi Integral sebelumnya, lalu kita amati contoh soal integral trigonometri berikut ini :

$\begin{align*}1.\;\;\int sin\;4x\;dx&=&-\frac 14\;cos\;4x+C \end{align*}$

$\begin{align*}2.\;\;\int cos\;(7x-5)\;dx&=&\frac 17\;sin\;(7x-5)+C \end{align*}$

$\begin{align*}3.\;\;\int 3\;sin\;(2-6x)\;dx&=&-\left (\frac{3}{-6} \right )\;cos\;(2-6x)+C\\&=&\frac 12\;cos(2-6x)+C \end{align*}$

Contoh Lain :

1. $\int sin^2\;3x\; dx$ = …..

untuk mengerjakan soal diatas, kita pakai rumus trigonomtri

${\color{Red} sin^2\;x=\frac 12-\frac 12\;cos\;2x}$ sehingga

$\begin{align*}sin^2\;3x&=&\frac 12-\frac 12\;cos\;2(3x)\\&=&\frac 12-\frac 12\;cos\;6x \end{align*}$

Maka :

$\begin{align*}\int sin^2\;3x\;dx&=&\int \left (\frac 12-\frac 12\;cos\;6x \right )dx\\&=&\frac 12x-\frac 12.\frac 16\;sin\;6x+C\\&=&\frac 12x-\frac{1}{12}\;sin\;6x+C \end{align*}$

2. $\int \;sin\;5x.cos\;3x\;dx$ = …

nah, yang ini pakai ${\color{Red} sin\;x.cos\;y=\frac 12.sin(x+y)+\frac 12.sin(x-y)}$

sehingga :

$\begin{align*}sin\;5x.cos\;3x&=&\frac 12.sin(5x+3x)+\frac 12.sin(5x-3x)\\&=&\frac 12.sin\;8x+\frac 12.sin\;2x \end{align*}$

maka :

$\begin{align*}\int sin\;5x.cos\;3x\;dx&=&\int \left (\frac 12.sin\;8x+\frac 12.sin\;2x \right )dx\\&=&-\frac 12.\frac 18.cos\;8x+\frac 12.\frac 12.\left (-cos\;2x \right )+C\\&=&-\frac{1}{16}\;cos\;8x-\frac 14\;cos\;2x+C \end{align*}$

3. $\int 6\;sin\;4x.sin\2x\;dx$ = …

ingat ${\color{Red} sin\;x.sin\;y=-\frac 12.cos(x+y)+\frac 12.cos(x-y)}$

sehingga :

$\begin{align*}sin\;4x.sin\;2x&=&-\frac 12.cos(4x+2x)+\frac 12.cos(4x-2x)\\&=&-\frac 12.cos\;6x+\frac 12.cos\;2x \end{align*}$

maka :

$\begin{align*}\int 6\;sin\;4x.sin\;2x\;dx&=&\int 6\left ( -\frac12.cos\;6x+\frac12.cos\;2x \right )dx\\&=&\int \left (-3.cos\;6x+3.cos\;2x \right )dx\\&=&-3.\frac16.sin\;6x+3.\frac12.sin\;2x+C\\&=&-\frac12\;sin\;6x+\frac32\;sin\;2x+C\end{align*}$