Kamis, 31 Januari 2013

Integral Trigonometri



Integral Trigonometri merupakan hasil kebalikan dari turunan trigonometri. Sebelum kita mencoba mengingat rumus-rumus integral triogonometri maka sebaiknya kita ingat dulu turunan trigonometri. Turunan trigonometri bisa kita tuliskan sebagai berikut :
y = sin x maka y’ = cos x
y = cos x maka y’ = – sin x
y = tan x maka y’ = sec2 x
y = cot x maka y’ = -csc2 x
y = sec x maka y’ = sec x tan x
y = csc x maka y’ = -csc x cot xDengan demikian jika rumus-rumus ini kita balik akan menjadi






Rumus-rumus tersebut bisa dibuat lebih umum sebagai berikut :




Untuk lebih jelasnya kita bisa membuktikan sebagai berikut
misalkan : y = ax + b
maka
Jadi :






Integral Trigonometri

\int cos(ax+b)\;dx=\frac 1a\;sin(ax+b)+C
\int sin(ax+b)\;dx=-\frac 1a\;cos(ax+b)+C
\int sec^2(ax+b)\;dx=\frac 1a\;tan(ax+b)+C
\int cosec^2(ax+b)\;dx=-\frac 1a\;cot(ax+b)+C

Ingat kembali sifat-sifat integral di materi Integral sebelumnya, lalu  kita amati contoh soal integral trigonometri berikut ini :
\begin{align*}1.\;\;\int sin\;4x\;dx&=&-\frac 14\;cos\;4x+C \end{align*}

\begin{align*}2.\;\;\int cos\;(7x-5)\;dx&=&\frac 17\;sin\;(7x-5)+C \end{align*}

\begin{align*}3.\;\;\int 3\;sin\;(2-6x)\;dx&=&-\left (\frac{3}{-6} \right )\;cos\;(2-6x)+C\\&=&\frac 12\;cos(2-6x)+C \end{align*}


Contoh Lain :
1.   \int sin^2\;3x\; dx = …..
untuk mengerjakan soal diatas, kita pakai  rumus trigonomtri
 {\color{Red} sin^2\;x=\frac 12-\frac 12\;cos\;2x}   sehingga
 \begin{align*}sin^2\;3x&=&\frac 12-\frac 12\;cos\;2(3x)\\&=&\frac 12-\frac 12\;cos\;6x \end{align*}
Maka :
\begin{align*}\int sin^2\;3x\;dx&=&\int \left (\frac 12-\frac 12\;cos\;6x \right )dx\\&=&\frac 12x-\frac 12.\frac 16\;sin\;6x+C\\&=&\frac 12x-\frac{1}{12}\;sin\;6x+C \end{align*}

2.   \int \;sin\;5x.cos\;3x\;dx = …
nah, yang ini pakai   {\color{Red} sin\;x.cos\;y=\frac 12.sin(x+y)+\frac 12.sin(x-y)}
sehingga :
 \begin{align*}sin\;5x.cos\;3x&=&\frac 12.sin(5x+3x)+\frac 12.sin(5x-3x)\\&=&\frac 12.sin\;8x+\frac 12.sin\;2x \end{align*}
maka :
\begin{align*}\int sin\;5x.cos\;3x\;dx&=&\int \left (\frac 12.sin\;8x+\frac 12.sin\;2x \right )dx\\&=&-\frac 12.\frac 18.cos\;8x+\frac 12.\frac 12.\left (-cos\;2x \right )+C\\&=&-\frac{1}{16}\;cos\;8x-\frac 14\;cos\;2x+C \end{align*}
3.   \int 6\;sin\;4x.sin\2x\;dx = …
ingat   {\color{Red} sin\;x.sin\;y=-\frac 12.cos(x+y)+\frac 12.cos(x-y)}
sehingga :
\begin{align*}sin\;4x.sin\;2x&=&-\frac 12.cos(4x+2x)+\frac 12.cos(4x-2x)\\&=&-\frac 12.cos\;6x+\frac 12.cos\;2x \end{align*}
maka :
\begin{align*}\int 6\;sin\;4x.sin\;2x\;dx&=&\int 6\left ( -\frac12.cos\;6x+\frac12.cos\;2x \right )dx\\&=&\int \left (-3.cos\;6x+3.cos\;2x \right )dx\\&=&-3.\frac16.sin\;6x+3.\frac12.sin\;2x+C\\&=&-\frac12\;sin\;6x+\frac32\;sin\;2x+C\end{align*}
4.  \int \left ( cos\;x+sin\;x \right )\left ( cos\;x-sin\;x \right )dx  = …. ???
ingat   :
 \begin{align*}\left ( cos\;x+sin\;x \right )\left ( cos\;x-sin\;x \right )&=&cos^2\;x-sin^2\;x\\&=&cos\;2x\; \end{align*}
 maka :
\begin{align*}\int \left ( cos\;x+sin\;x \right )\left ( cos\;x-sin\;x \right )dx&=&\int cos\;2x\;dx\\&=&\frac 12.sin\;2x+C \end{align*}

Tidak ada komentar:

Posting Komentar